O problema matemático que intrigava Napoleão e que se aplica em IA e no
carreto da sua mudança
O maior general da
história, como reconhecido por muitos especialistas, foi um homem de paixões
intensas. O que talvez não seja tão conhecido é que uma delas era a ciência.
“Se eu não tivesse me tornado comandante-chefe e
instrumento do destino de um grande povo, (…) teria me lançado no estudo das
ciências exatas. Eu teria caminhado ao lado dos Galileus e dos
Newtons.
E como tive êxito constante em meus grandes
empreendimentos, também teria me destacado muito no trabalho científico. Teria
deixado a memória de belas descobertas. Nenhuma outra glória teria tentado a
minha ambição”, disse Napoleão
Bonaparte, segundo o físico francês François Arago.
Ele não apenas amava a ciência, mas percebeu que os
cientistas poderiam ajudá-lo em seu ambicioso projeto político.
É o que afirma no artigo Napoléon Bonaparte
and Science o destacado matemático francês Étienne Ghys, pesquisador
emérito do Centro Nacional Francês de Pesquisa Científica. O imperador
conquistou o apoio de grandes cientistas, como o matemático Gaspard Monge,
considerado o inventor da geometria descritiva e pai da geometria diferencial.
Monge acompanhou Napoleão na campanha no Egito, que
“terminou com uma derrota militar, mas com notável êxito científico”, escreveu
Ghys.
“Já se tinha visto alguma vez na história um
exército de invasores acompanhado por matemáticos, naturalistas, arqueólogos e
filólogos?”
De volta a Paris, em 1799, Napoleão deu o golpe de
estado que o levaria ao poder absoluto na França.
Sob a sua proteção, que incluía incentivos
financeiros, prêmios e cargos de alta hierarquia para cientistas, a ciência
francesa viveu um período verdadeiramente glorioso.
·
A questão matemática do "transporte
ótimo"
O transporte ótimo visa deslocar objetos de um
lugar para outro da maneira mais eficiente e econômica possível.
Sua origem remonta ao final do século XVIII, à
época da Revolução Francesa.
Foi formulado em 1781 pelo matemático Gaspard
Monge, que percebeu a aplicação no campo militar para saber qual a melhor
maneira de construir fortificações.
Ele viveu num período em que a Europa estava
abalada por conflitos bélicos.
Foi com a ascensão de Napoleão ao poder que Monge
conseguiu se dedicar totalmente à questão que o intrigava.
Como grande estrategista, o general foi também um
divulgador da ciência aplicada à guerra.
Ele precisava urgentemente de uma resposta sobre as
fortificações; não queria perder tempo, recursos ou mão de obra em suas
campanhas.
Então Monge, que já era um conhecido matemático e
amigo de Napoleão, viu-se no momento e no lugar perfeitos para continuar a se
aprofundar no problema.
·
Complexidade
Em termos práticos, Monge, tal como Napoleão,
queria saber onde construir fortificações para minimizar custos. Mas havia
mais.
“Como cientista, Monge também estava interessado na
questão teórica que estava por trás: como funciona o transporte ótimo em
teoria?”, diz Alessio Figalli, professor da prestigiada Escola Politécnica
Federal de Zurique.
Figalli, que conquistou reconhecimentos por suas
contribuições no campo da matemática, ganhou a Medalha Fields em 2018, aos 34
anos, considerado o Prêmio Nobel de matemática.
O transporte ótimo é justamente um dos conceitos em
que Figalli concentrou seu trabalho.
“Monge começou a entender o problema a partir de
uma perspectiva geométrica e, para isso, fez muitos desenhos”, explica.
Imaginemos que temos duas cidades, A e B, e
queremos construir uma fortificação em cada.
Se o objetivo é minimizar o transporte de
materiais, é lógico que retiremos o que vamos precisar para a construção em A
de um local próximo a A, e de um local próximo de B para o que vamos construir
em B.
Não faria muito sentido extraí-los e enviá-los de
outras partes mais distantes do país sem ser necessário.
“Se você só tem duas cidades e dois locais de
extração, é muito fácil ver a solução: basta enviar o material do local mais
próximo que houver”, diz Figalli, mas alerta:
“Se você começar a ter mais cidades e mais locais
de extração, o problema se torna muito maior e entender o que enviar e para
onde pode não ser tão óbvio.”
“Talvez a quantidade de material que extraio de um
local não seja suficiente para todas as fortificações que tenho que construir
naquela área e terei de trazer material de um local mais distante.”
“E se você começar a pensar em números maiores, por
exemplo, 10 mil cidades e 200 pontos de extração, o problema fica mais
complexo. Procure saber se existe uma teoria matemática geral que você possa
usar.”
·
Um olhar econômico
Monge realizou análises muito interessantes e
avançou no problema.
Mas Figalli pede que lembremos que no século XIX
não existiam matemáticos profissionais no sentido moderno: os cientistas faziam
matemática e muitas outras coisas.
Além disso, foi um período em que se deu prioridade
a outras teorias matemáticas.
Foi assim que o problema do transporte ótimo caiu
um pouco no esquecimento: “depois de Monge, por mais de cem anos não aconteceu
muita coisa”.
Foi na década de 40 do século XX que um matemático
e economista soviético resgatou a questão.
“Leonid Kantorovich realmente entendeu como atacar
o problema”, diz o professor.
“Ele desenvolveu uma teoria matemática robusta para
estudá-lo e, a partir disso, desenvolveu uma teoria econômica muito sólida que
se poderia usar para resolver problemas muito concretos. Por exemplo, como as
padarias poderiam planejar a melhor forma de enviar seus pães para os
diferentes estabelecimentos da cidade.”
Em 1975, Kantorovich recebeu o Prêmio Nobel de
Economia, juntamente com o holandês Tjalling C. Koopmans, pelo trabalho no
campo da teoria econômica normativa, que é a teoria da alocação ótima de
recursos.
Existem muitos problemas que podem ser resolvidos
com o conceito de transporte ótimo.
“Pense no trajeto para o trabalho, que as pessoas
fazem todos os dias. Qual a maneira mais eficiente de ser feito?”, pergunta o
especialista.
“Um dos motivos que torna esse problema difícil é
que não se trata de um ganho pessoal, mas coletivo: não é que se queira
minimizar o tempo que você gasta no deslocamento para o trabalho, o que se
busca é minimizar o tempo total de deslocamento para o trabalho em todas as
cidades.”
“Isso pode significar que será preciso viajar um
pouco mais, mas se pensarmos no bem-estar geral da população, a solução será a
melhor possível.”
·
Nos fluidos
Na década de 1980, o problema tomou um rumo
inesperado.
O matemático francês Yann Brenier percebeu que o
conceito de transporte ótimo poderia ser usado no estudo de fluidos.
“Foi mágico”, diz Figalli. “Ninguém esperava.”
“Brenier estava estudando o movimento da água,
problemas relacionados à dinâmica dos fluidos, que é um campo da matemática e
também da engenharia em que você tenta entender como a água é transportada,
como ela se comporta em uma tubulação, em um recipiente, mas também em
situações de fenômenos físicos complexos, como um furacão.”
“Não é que Brenier tenha repentinamente feito uma
nova descoberta em dinâmica de fluidos, o que foi surpreendente foi que ele fez
a ligação com o conceito de transporte ótimo. As pessoas perceberam que esse
problema era mais rico do que parecia.”
“E os matemáticos adoram isso, fazer conexões entre
problemas.”
Surgiu uma espécie de renascimento do problema e na
década de 90 houve um boom. “Foi como se tivesse virado moda, ficou super
cool.”
“Os matemáticos são animais sociais. Embora exista
a lenda de que ficamos em nossas cavernas trabalhando sozinhos, na realidade a
matemática é uma atividade muito social em que a troca de ideias é constante.”
·
Na moda
O início dos anos 2000 foi a época de ouro do
problema, diz o professor.
Ele era um estudante muito jovem na Scuola Normale
di Pisa e também se interessou por transporte ótimo. Ele finalmente foi
conquistado quando estava no último ano do mestrado. No ano seguinte (em apenas
um ano) obteria o doutorado.
“Esse problema é muito complexo. São tantas
variáveis, possibilidades, que é preciso construir uma nova teoria. O que foi
feito até agora não é suficiente para resolvê-lo e essa é a beleza: esse
problema obriga a desenvolver novas matemáticas.”
Você tem uma resposta final?, pergunto.
“Na matemática nunca há uma resposta final”,
responde ele. “Num problema como este há sempre coisas novas; não é que esteja
sozinho, isolado, este é um problema macro.”
E me convida a pensar no sangue que circula pelo
meu corpo como um fenômeno de transporte.
“Você está interessado em fortificações? Você está
interessado em sangue? Dependendo do problema, existem respostas diferentes.”
É assim que entendo o que ele quer dizer quando
afirma que “nunca há uma resposta final”: embora possa haver soluções para
contextos específicos e necessidades concretas, não será a resposta definitiva
para tudo o que o conceito de transporte ótimo pode implicar.
E suas aplicações parecem tão vastas quanto o
próprio céu.
·
Entre nuvens
E assim, sem ir muito longe, Figalli me conta sobre
as aplicações na meteorologia.
“Do ponto de vista teórico, o movimento das nuvens
pode ser entendido como um problema de transporte ótimo: as nuvens são feitas
de partículas de água que se movem à medida que elas o fazem.”
As técnicas que foram desenvolvidas no estudo do
transporte ótimo podem ajudar a analisar a evolução das nuvens.
“Como fazer a ligação entre essas pequenas
partículas de água que se movem com essas grandes nuvens? Como deduzir a
pressão, a velocidade com que viajam? Como você conecta esta descrição
microscópica com esta descrição macroscópica? Como você pode traçar a rota?
Essa é uma questão matemática.”
E há um princípio básico: “A natureza quer ser
eficiente: gastar o mínimo de energia para fazer o que tem de fazer e, por essa
razão, o transporte ótimo e a natureza funcionam bem juntos”.
Mas também funciona bem em outros contextos.
Pensemos em tecnologia: em vez de partículas de água, imagine pixels, e, em vez
de nuvens, pense em fotos.
·
Nos computadores
No aprendizado de máquina, ramo da inteligência
artificial, o objetivo é treinar programas de computador para executar tarefas
específicas. Uma delas é o reconhecimento de imagens.
Imagine que no seu computador você tem uma coleção
de fotos de animais – há cachorros, gatos, elefantes, vacas – e recebe uma nova
imagem de um animal que você não sabe o que é.
“Preciso comparar imagens, como posso fazer isso? O
transporte ótimo pode fazer isso por você”, diz Figalli.
“Quero transportar os pixels, ou o que compõe
aquela nova foto, para outra imagem e ver quanto custa esse processo. Se for
muito pouco é porque a imagem em questão é semelhante à de referência. É muito
provável que a minha foto seja de um cachorro, porque é muito parecida com a
que já existe de um cachorro.”
“Mas se o transporte custa muito, significa que a
imagem era muito diferente da imagem de um cachorro. Portanto, deve representar
algo diferente.”
“O metaprincípio é que o transporte ótimo é uma
maneira muito boa de comparar imagens, objetos e, uma vez feito isso, pode ser
usado para treinar uma rede de inteligência artificial.”
E voltamos ao ponto da beleza.
“Você vê?”, o professor me diz com um sorriso.
“A matemática não se importa se o que você
transporta é um objeto concreto ou abstrato. Pode ser material de construção,
pão, pessoas indo trabalhar, uma imagem, um pixel. É sempre um objeto a partir
do qual tiramos modelos, fazemos fórmulas, vira abstrato e você faz o que
quiser. Você sempre tem novas aplicações.”
·
Na sua vida
É assim que o problema cuja formulação remonta ao
século XVIII está presente em nossas vidas.
Pense por um momento em quando você se muda, diz
Matteo Bonforte, professor da Universidade Autônoma de Madrid e membro do
Instituto de Ciências Matemáticas da Espanha.
“Você tem que mudar as coisas de uma casa para
outra e tem uma van ou um caminhão. Como colocar os seus pertences no caminhão
da melhor forma, para que custe o mínimo possível: menos viagens, menos esforço
para os encarregados?”
Para Bonforte, é fundamental continuar investigando
problemas como o transporte ótimo.
“Alessio Figalli é uma dessas mentes maravilhosas
das quais existe uma por geração.”
“É muito importante que matemáticos da primeira
fila como ele, os top-top-top, dediquem-se a esses problemas, porque eles
conseguem ver coisas que ‘os mortais comuns não vêem’, criam conexões entre
coisas que parecem muito diferentes, mas que, com as lentes apropriadas, no
fim, observa-se que o mecanismo subjacente, o princípio básico, é o mesmo e os
une.”
Ele destaca que Figalli tem conseguido resolver
problemas que estavam em aberto há muitos anos, o que faz com que a teoria
desenvolvida seja aplicável a “problemas da vida real”.
“É fundamental que essas grandes figuras da
matemática lidem com esses problemas porque eles também dão um impulso a toda a
comunidade: muitos pesquisadores ‘entram na onda’, o problema vira ‘moda’ e
isso gera um avanço no conhecimento espetacular, sempre pelo motivo de sermos
animais sociais.”
Fonte: BBC News Mundo
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